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Topologie der Quantendimension – Topologie und Quantenknoten

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Topologie und Quantenknoten

Die Symmetrien von Bosonen und Fermionen.

Weiterführende Literatur: S. Heusler, W. Dür, M. Ubben, A. Hartmann, Aspects of entropy in classical and in quantum physics, J. Phys. A: Math. Theor. 55 404006 DOI 10.1088/1751-8121/ac8f74  (2022)

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In U2-5 haben wir die Schwingungen auf einer gewöhnlichen Kugeloberfläche nach der Anzahl l von Knotenlinien klassifiziert. Betrachten wir eine Kreislinie am Äquator der Kugel jeweils beim Zustand m=l. Jede der l Knotenlinien trifft diese Kreislinie am Äquator zweimal. Insgesamt ergeben sich somit 2 l Knotenpunkte, also immer eine gerade Anzahl.

Alle anderen Zustände ergeben sich durch Anwenden des Knotendrehoperators d minus. In der 360°-Welt ist dies das vollständige Spektrum auf einer Kugeloberfläche in drei Dimensionen. Skalieren wir den Abstand auf h quer, ergeben sich wie in U2-6 die Quantenzustände, beispielsweise die von Orbitalen.

Was passiert aber, wenn wir von der 360°-Welt zur 720°-Welt gehen, also zur dreidimensionalen Kugeloberfläche in vier Dimensionen? Jetzt ergeben sich auch Spin-Zustände, die wie in U2-09 gesehen eigentlich ganz normale stehende Wellen sind. Erst durch das doppelte Aufwickeln in 360° ergibt sich ein einzelner Knotenpunkt für Spin 1/2.

Projiziert auf 360° füllen also die Spin-Zustände die Lücken: Es sind genau diejenigen mit einer ungeraden Anzahl von Knotenpunkten auf einer 360°-Kreislinie.

Der Unterschied zwischen den Quantenzuständen mit einer geraden und denen mit einer ungeraden Anzahl von Knotenpunkten – ist immens: Die sogenannten „Bosonen“ sind die von der ganz normalen Kugeloberfläche uns wohlbekannte Zustände mit einer geraden Anzahl Knotenpunkten.

Bosonen können bei tiefen Temperaturen alle in den niedrigsten Zustand kondensieren, es gibt kein Verbot für Mehrfach-Besetzungen desselben Zustands.

Die sogenannten „Fermionen“ sind die Zustände mit einer ungeraden Anzahl von Knotenpunkten. Aufgrund der Doppeldeutigkeit, die durch die Projektion von vier auf drei Dimensionen entsteht, kann jeder in drei Dimensionen beobachtbare Zustand nur maximal einmal besetzt sein – das ist das sogenannte Pauli-Prinzip.

Das Pauli-Prinzip ist die Grundlage für die Stabilität und Festigkeit von Materie. Die tiefere Ursache für die Stabilität der Materie liegt somit in der Projektion des Spins aus der Quantendimension in die 360°-Welt, und der damit verbundenen Doppeldeutigkeit des Spins, die wir im nächsten Slide nun noch genauer untersuchen.

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