Spin – Spin

Im Bild von Kerze und Spiegel als Metapher für Zustände und Operatoren gibt es neben dem Abstand zwischen den Zuständen noch eine weitere Möglichkeit, das Bild zu manipulieren: Die Position der Spiegelebene. Der Spiegel muss Zustände wieder auf andere Zustände abbilden, und der Abstand zwischen den Zuständen muss immer gleich groß sein.

Dafür gibt es genau zwei mögliche Lösungen. Eine kennen wir schon: Ist ein Zustand sein eigenes Spiegelbild, gibt es immer eine ungerade Anzahl von Zuständen.

Befindet sich der Spiegel genau in der Mitte zwischen zwei Zuständen, ergibt sich eine gerade Anzahl von Zuständen, und kein Zustand ist sein eigenes Spiegelbild.

Im einfachsten Fall gibt es also zwei Zustände. Der Übergang zur Quantenphysik erfolgt wiederum durch Skalieren des Abstandes zwischen den Zuständen zu h quer. Diese beiden Zustände haben eine wichtige Interpretation: Sie können beispielsweise den Spin des Elektrons beschreiben: Spin up und Spin down, mit Plus einhalb und Minus einhalb in Einheiten von h quer.

Welchen Schwingungsmoden entsprechen diese beiden Zustände?  Schwingungen auf der zweidimensionalen Kugeloberfläche können es nicht sein, diese haben wir ja schon vollständig klassifiziert. Nein, hier passiert etwas Neues. Mathematisch lässt sich zeigen, dass es sich hierbei im einfachsten Fall um Schwingungen auf einer dreidimensionalen Kugeloberfläche in vier Dimensionen handelt. Geometrisch ist diese Kugeloberfläche ein komplexes Objekt. In der Quantenphysik ist ein solcher Zustand in vier Dimensionen möglich, weil er nicht direkt beobachtbar ist und nur indirekte Auswirkungen hat. In der klassischen Physik ist so ein Zustand schlicht nicht möglich, weil direkt beobachtbare Schwingungsmoden in vier Dimensionen leider nicht existieren.

Der Spin ist das erste und zugleich wichtigste Beispiel für einen Zustand, der nicht im realen Raum existieren kann und darum ein rein quantenmechanisches Phänomen ist. Was wir davon mitbekommen, ist sozusagen eine Projektion in die realen drei Dimensionen. Die z-Achse bezeichnen wir jetzt wie üblich von unten nach oben. Im Bezug auf diese zeigt der Zustand up nach oben, und der Zustand down nach unten.

Wir können die dreidimensionale Kugeloberfläche auf eine gewöhnliche, zweidimensionale Kugeloberfläche projizieren. Dort entsprechen dem Nord- und Südpol die Zustände Spin up und Spin down. Neben diesen beiden Basiszuständen der Spins gibt es auch noch  Überlagerungsmöglichkeiten, also Superpositionszustände dieser Schwingungen, zum Beispiel Spin up plus Spin down, oder Spin up minus Spin down. Geometrisch entspricht das einem Spin, der in die plus y oder minus y-Richtung zeigt. Analog lässt sich der Spin in plus x oder minus x-Richtung konstruieren.

Der Spin im dreidimensionalen Raum kann also in jede beliebige Richtung zeigen, hier durch die Richtung des großen roten Pfeils gezeigt.

Jeder Punkt auf der Kugel entspricht dem Spinzustand, der in diese Raumrichtung weist. Alle möglichen Spinausrichtungen dieses sogenannten Qubits ergeben eine zweidimensionale Kugeloberfläche, die sogenannte Bloch-Kugel.