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Stehende Wellen – Stehende Wellen

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Stehende Wellen

Wir erklären das Frequenzspektrum der schwingenden Gitarrensaite durch die Anzahl von Knotenpunkten in den Schwingungsmoden bzw. stehenden Wellen auf der Saite.

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Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Frequenzspektrum der Schallwelle und der Schwingung auf der Saite? Betrachten wir zunächst nur den Grundton f0.

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Die Saite wird durch Anzupfen in Schwingung versetzt. Diese Schwingung wird durch die Luft mit Schallgeschwindigkeit übertragen. Wir betrachten zwei Punkte, den Punkt A in der Luft, und den Punkt B auf der Saite. In der Luft erhalten wir eine sich ausbreitende Schallwelle. Der Grundton hat die Frequenz f0, das entspricht einem Rad mit Umdrehungsfrequenz f0, hier visualisiert im räumlichen und zeitlichen Verlauf.

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Am Punkt B auf der Saite haben wir eine andere Situation, denn die Schwingung wird ja an den beiden Randpunkten der Saite immer wieder hin- und her reflektiert. Es gibt also eine rechts- und eine linkslaufende Welle, die sich überlagern, und somit eine stehende Welle bilden. Die Frequenz dieser stehenden Welle ist ebenfalls f0. Am Rand ergeben sich zwei Knotenpunkte, die Saite bewegt sich dort ja nicht. In der Mitte bildet sich ein Schwingungsbauch. Diese stehende Welle auf der Saite mit Länge l entspricht einer halben Wellenlänge auf der Saite. Dies ist die Schwingung, die sich hinter dem Grundton mit der Frequenz f0 verbirgt.

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Bei doppelter Frequenz halbiert sich die Wellenlänge, denn das Produkt aus Frequenz und Wellenlänge ergibt stets die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit auf der Saite. Das heißt, auf der schwingenden Saite hat nicht nur ein Wellenbauch, sondern zwei Wellenbäuche Platz, und es gibt einen Knotenpunkt mehr genau in der Mitte der schwingenden Saite.

Ebenso wird bei dreifacher Frequenz wieder die Wellenlänge verkleinert und es passt noch genau ein Schwingungsbauch mehr auf die schwingende Saite, und entsprechend ergibt sich auch ein Knotenpunkt mehr.

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Fassen wir zusammen: Stehende Wellen bilden sich, wenn das Vielfache einer halben Wellenlänge auf der schwingenden Saite Platz hat. Im einfachsten Fall haben wir nur zwei Knotenpunkte am Rand und einen Schwingungsbauch, das ist der Grundton. Der erste Oberton hat einen Knotenpunkt mehr als der Grundton, der zweite zwei, und so weiter. Bei Verdopplung der Frequenz halbiert sich die Wellenlänge relativ zum Grundton, bei Verdreifachung ergibt sich ein Drittel der Wellenlänge, und so geht das weiter für alle Vielfachen der Frequenz des Grundtons.

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Kommen wir nun zu der Frage der Eindeutigkeit zurück. Ist dieses Spektrum ein eindeutiger Fingerabdruck für die schwingende  Saite mit der Länge l? Nun, zunächst scheint es so, denn offenbar hängen die Frequenz und die Saitenlänge l zusammen wie l=(n·λ)/2.

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Wir betrachten zwei verschiedene schwingende Saiten mit verschiedenen Längen und verschiedenen Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten C1 und C2 auf der jeweiligen Saite. Zunächst klingt die längere Saite tiefer, d. h. wir haben wieder ein äquidistantes Spektrum, nur ist der Grundton f0 ein wenig nach unten verschoben und somit auch alle Vielfachen von f0, also alle Obertöne.

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Wenn wir aber bei der längeren Saite die Saitenspannung erhöhen und somit die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit C2 so anpassen, dass das Verhältnis aus Wellenausbreitungsgeschwindigkeit und Länge gleich ist für beide schwingenden Saiten, ergibt sich ein identisches Spektrum, d. h. der Grundton ist gleich und die Obertöne auch, obwohl die Saiten verschiede Längen haben.

Na klar, man kann beispielsweise auch eine Gitarre so stimmen, dass zwei verschiedene Saiten denselben Grundton haben!

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Wenn es bei der schwingenden Saite keinen eindeutigen Rückschluss auf das verwendete Instrument gibt, ist das bei komplizierteren Instrumenten erst recht nicht der Fall. Tut mir leid, Bob!

Begleitmaterialien zu diesem Slide

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Weitere Arbeits- und Infomaterialien zur gesamten Lehrreihe:

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