Quantenspiegel – Quantenspiegel

Kerzen und Spiegel stehen als Sinnbild für Zustände und Operatoren. Besonders symmetrische Zustände sind ihr eigenes Spiegelbild; sie befinden sich genau in der Mitte und teilen die Spiegelebene. Alle anderen Zustände werden nicht auf sich selbst gespiegelt, sondern treten paarweise auf. In diesem Fall kann nur eine ungerade Anzahl von Zuständen existieren –  einer –  drei –  fünf – und so weiter.

Schauen wir uns den Fall von sieben Zuständen einmal genauer an. Hier haben wir insgesamt l=3 azimutale Knotenlinien – im symmetrischsten Fall drei waagerechte. Die Knotendrehoperatoren drehen eine waagerechte Knotenlinie in die Senkrechte und erzeugen aus dem Zustand m=0 den Zustand m=+1 mit einer rechtsdrehenden Knotenlinie; im Spiegelbild m=-1 mit einer linksdrehenden Knotenlinie.

Nochmaliges Anwenden des Knotendrehoperators dreht noch eine Knotenlinie aus der Waagerechten in die Senkrechte. Nochmaliges Anwenden führt zu den Zuständen, bei denen alle Knotenlinien sich rechts, bzw. links um die z-Achse drehen. Mehr waagerechte Knotenlinien gibt es nicht – eine weitere Anwendung der Knotendrehoperatoren führt zur Null.

Damit haben wir alle möglichen Schwingungszustände auf der Kugeloberfläche in drei Dimensionen verstanden. Wir können sie klassifizieren bezüglich des Dz-Operators, zu dem alle hier gezeigten Zustände Eigenzustände sind. Die Knotendrehoperatoren d plus bzw. d minus drehen Knotenlinien aus der waagerechten in die Senkrechte und erzeugen so aus dem Zustand m den Zustand m₊ eins bzw. m_– eins.

Ausgehend von den symmetrischsten Eigenzuständen des D_z Operators auf der Spiegelebene ergeben sich alle weiteren Eigenzustände durch das Anwenden der Knotendrehoperatoren.

In dem bis hier her gezeigten Bild von Operatoren und Zuständen auf der Kugeloberfläche gibt es noch einen freien Parameter. Verändern wir den Abstand zwischen den Zuständen und deren Spiegelbildern, bleibt alles andere wie gehabt bestehen. Wir können diesen Abstand also beliebig wählen, ohne die Symmetrie zwischen den Eigenzuständen zu zerstören.

Für klassische Operatoren auf der Kugeloberfläche hat dieser Abstand Delta keine tiefere Bedeutung und ist je nach Anwendung unterschiedlich. In der Quantenphysik liegt hier des Pudels Kern: Dieser Abstand ist eine universelle Naturkonstante: ℏ, also 10^-34 Joulesekunden. Dieser Wert ist absolut unveränderlich und gilt auf der Erde genauso wie im Sonnenkern oder in einem Schwarzen Loch.  Beim Übergang zur Quantenphysik werden die Operatoren also „nur“ skaliert, die eigentliche Schwierigkeit für die Physik liegt eher in der Interpretation dieser Skalierung als in der mathematischen Struktur.

Vergleichen wir Operatoren und Zustände auf der Kugeloberfläche in der  Quantenphysik und im klassischen Fall. Bei der Quantenphysik ist der Abstand zwischen den Zuständen eine universellen Naturkonstante, im klassischen Fall beliebig.

Wie sieht es mit den Zuständen aus? In beiden Fällen können die Eigenzustände als Schwingungen auf der Kugeloberfläche, und somit durch Anzahl und Position von Knotenlinien klassifiziert werden. Hier der Fall l=2, m=0. Aber es gibt einen entscheidenden Unterschied: In der klassischen Physik sind die Schwingungszustände direkt beobachtbare, reale Schwingungen auf einer Kugeloberfläche, wie z. B. eine schwingende Seifenhaut.

In der Quantenphysik handelt es sich um eine nicht direkt beobachtbare Schwingung, die wir als Wurzel aus einer Wahrscheinlichkeit, bzw. als Wellenfunktion interpretieren können  –  aber nicht zwangsläufig müssen.

Schneiden wir die Kugel auf, erhalten wir im klassischen Fall die Schwingung auf einer Kreislinie zurück –  aber in der Quantendimension erhalten wir einen Ausschnitt aus einer komplexen Wellenfunktion.

Die Operatoren L_z, L₊ und L_–  tragen aus historischen Gründen in der Quantenmechanik den Namen Drehimpulsoperatoren. Mehr Gemeinsamkeiten als die physikalische Einheit Joulesekunde haben diese Operatoren mit dem klassischen Drehimpuls aber nur in sehr wenigen Spezialfällen.