Kugelschwingungen – Chladni-Figuren

Die schwingende Saite des Monochords ist ein Beispiel für eine stehende Welle in einer Dimension. Die möglichen Grundmoden auf der Saite lassen sich durch die Anzahl von Knotenpunkten klassifizieren. Bereits im 19. Jahrhundert hatte Chladni mögliche Schwingungsmoden in zwei Dimensionen untersucht. Aus Knotenpunkten werden in zwei Dimensionen Knotenlinien. Chladni hatte eine einfache und geniale Idee, diese sichtbar zu machen: Mit einem Geigenbogen lässt sich beispielsweise eine runde Glasscheibe in Schwingung versetzen. Wir verstreuen auf der Scheibe ein feines Pulver. Halten wir die Glasscheibe an passender Stelle fest, erhalten wir eine sogenannte Chladni’sche Klangfigur. Wie können wir das erklären?

Die liegengebliebenen Körnchen verraten, wo sich die Platte nicht bewegt, wo also Knotenlinien der Schwingung entstehen. Schneiden wir die Glasplatte in der Mitte durch, erkennen wir eine eindimensionale stehende Welle mit zwei Knotenpunkten. An den Enden und in der Mitte der Glasscheibe befinden sich Schwingungsbäuche, hier werden die Körnchen weggetrieben. Nur an den Knotenpunkten bleiben sie liegen. Durch Rotation wird aus den Knotenpunkten eine Knotenlinie auf der Scheibe. Bei dieser Schwingungsmode der Glasplatte bildet sich eine sogenannte radiale Knotenlinie bei Radius r₁.

Halten wir die Glasscheibe an passender Stelle am Rand fest, erhalten wir so ein Muster. Welcher Schwingungsmode entspricht diese Klangfigur? Diesmal betrachten wir die Schwingung auf dem äußeren Halbkreis mit den entsprechenden Schwingungsknoten und Schwingungsbäuchen. Es ergibt sich am Rand der Glasscheibe eine stehende Welle mit vier Schwingungsbäuchen. Das Muster setzt sich auf der gesamten Glasscheibe fort, also für alle Radien. Die Knotenlinien befinden sich also bei festen Winkeln – darum nennt man sie azimuthale Knotenlinien. In diesem Fall ist der Winkel phi zwischen den beiden azimuthalen Knotenlinien gleich 90 Grad.

Wir bezeichnen Knotenlinien bei festem Winkel als azimuthal, und Knotenlinien bei festem Radius als radial. Natürlich gibt es auch Schwingungsmoden, die beide Arten kombinieren – hierfür benutzen wir eine Glasscheibe mit etwas größerem Radius. Bei passender Haltung der Finger erhalten wir eine Schwingungsmode mit einer radialen und einer azimuthalen Knotenlinie.

Je größer die Glasplatte, desto mehr Knotenlinien haben auf ihr Platz, und desto komplizierter können die Schwingungsmuster werden. Zeichnen wir die Knotenlinien nach, ergibt sich diese Klangfigur. Diese ist nur eine von hunderten von Beispielen komplizierter Schwingungsmoden, die auf einer Glasscheibe erzeugt werden können – und die von Chladni untersucht wurden.

Aber alle diese komplizierten Muster lassen sich durch Fouriertransformation zurückführen auf Überlagerung oder Superposition von einfachen Grundmoden: Diese Grundmoden lassen sich durch die Anzahl l von azimuthalen Knotenlinien, und die Anzahl r von radialen Knotenlinien charakterisieren – also l=0, 1, 2, 3 sowie r=0, 1, 2, 3 usw., und Kombinationen von r und l.

Umgekehrt kann durch Überlagerung dieser Grundmoden jede mögliche Schwingung auf der Glasplatte beschrieben werden. Hier z.B. sehen wir die Mischung aus der Grundmode r=2, l=2 mit der Grundmode r=3. Auf diese Weise können wir die Chladni‘schen Klangfiguren als Überlagerung von Grundmoden wieder zurückerhalten.